BAB 5 : PERSAMAAN PARAMETRIK DAN KOODINAT KUTUB

5.3 Grafik dalam Koordinat Kutub

A) Rangkuman Materi

1 Garis dalam Koordinat Kutub

Suatu persamaan kutub untuk sebarang garis dapat diperoleh dengan mensubstitusikan \( x = r \cos \theta \) dan \( y = r \sin \theta \) dalam persamaan \( Ax + By + C = 0 \); hal ini menghasilkan bentuk umum suatu garis, yaitu

\[ r(A \cos \theta + B \sin \theta) + C = 0 \]

2 Lingkaran dalam Koordinat Kutub

Berikut merupakan beberapa persamaan lingkaran dalam koordinat kutub

Persamaan	Letak Pusat	Jari-jari
\( r = a \)	titik asal	\( a \)
\( r = 2a \cos \theta \)	sumbu-\( x \) positif	\( a \)
\( r = -2a \cos \theta \)	sumbu-\( x \) negatif	\( a \)
\( r = 2a \sin \theta \)	sumbu-\( y \) positif	\( a \)
\( r = -2a \sin \theta \)	sumbu-\( y \) negatif	\( a \)

3 Uji Simetri

Suatu kurva dalam koordinat kutub adalah simetrik terhadap sumbu-x jika dengan mengganti θ dengan −θ dalam persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.
Suatu kurva dalam koordinat kutub adalah simetrik terhadap sumbu-y jika dengan mengganti θ dengan π − θ dalam persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.
Suatu kurva dalam koordinat kutub adalah simetrik terhadap sumbu-x jika dengan mengganti r dengan −r dalam persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.

4 Kardioda dan Limacon

Persamaan kardioida dan limacon adalah

\[ r \]

Terdapat empat macam bentuk yang ditentukan dari nilai \( a/b \)

5 Lemniscate

Persamaan lemniscate adalah

\[ r^2 = \pm a^2 \cos 2\theta \quad \text{atau} \quad r^2 = \pm a^2 \sin 2\theta, \]

untuk \( a > 0 \). Lemniscate berasal dari kata Yunani "lemniscos" yang berarti pita bergulung membentuk angka 8. Lemniscate memiliki pusat di titik asal, namun posisinya relatif terhadap sumbu kutub mana bergantung pada tanda "\(\pm\)" dan \(\sin 2\theta\) atau \(\cos 2\theta\).

6 Spiral

Spiral adalah suatu kurva yang mengelilingi titik asal tak berhingga kali di mana r semakin bertambah atau berkurang secara tetap terhadap pertambahan θ. Spiral paling umum adalah Spiral Archimedes yang memiliki persamaan berbentuk

\[ r = a\theta \quad (\theta \geq 0) \quad \text{atau} \quad r = a\theta \quad (\theta \leq 0) \]

dengan a adalah konstanta. Spiral Archimedes banyak digunakan dalam berbagai bidang, seperti teknik, fisika, dan matematika.

7 Kurva Rose

Persamaan kurva rose adalah

\[ r = a \cos n\theta \quad \text{atau} \quad r = a \sin n\theta. \]

Jika n ganjil, maka kurva akan memiliki n daun atau loop. Sedangkan jika n genap, maka kurva akan memiliki 2n daun atau loop.

B) Contoh Soal

1. Sketsa kurva \( r = 5 \sin 3\theta \) dalam koordinat kutub dan berikan namanya.
Pembahasan:
Persamaan \( r = 5 \sin 3\theta \) merupakan persamaan kurva rose dengan \( a = 5 \) dan \( n = 3 \), dengan demikian akan mempunyai 3 daun. (Tips sketsa: bagi 360° menjadi 3 bagian yang sama)

Nama kurva: Kurva Rose (mawar) dengan 3 daun.

2. Sketsa kurva \( r = 1 - \cos \theta \) dalam koordinat kutub dan berikan namanya.
Pembahasan:
Persamaan \( r = 1 - \cos \theta \) merupakan persamaan kurva kardioida dan lemniscate dengan \( a = 1 \) dan \( b = -1 \), sehingga \( a/b = -1 < 1 \) yang merupakan bentuk limacon dengan bundaran dalam.
(Tips sketsa: cari nilai \( r \) untuk \( \theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi \), lalu gambar sesuai bentuk limacon dengan bundaran dalam)

Nama kurva: Limacon dengan bundaran dalam.

3. Sketsa kurva \( 2r = \sin \theta \) dalam koordinat kutub dan berikan namanya.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( 2r = \sin \theta \) ↔ \( r = \frac{1}{2} \sin \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} \sin \theta \), yang merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di sumbu-\( y \) positif dan jari-jari \( \frac{1}{4} \).

Nama kurva: Lingkaran dengan pusat di sumbu-\( y \) positif dan jari-jari \( \frac{1}{4} \).